Λέγεται ότι δεν πρέπει να δίνει κανείς σε μικρά παιδιά ψαλίδια, ξυραφάκια ή καρφίτσες: δεν κατανοούν την επικινδυνότητά τους, οπότε θα αυτοτραυματιστούν, μπορεί και σοβαρά. Είναι άραγε σωστότερο να δίνει κανείς σε μικρά παιδιά σύμβολα εάν η σκέψη τους δεν μπορεί να καταλάβει το νόημά τους; Κι αν τα παιδιά δεν είναι τόσο μικρά αλλά κάπως μεγαλύτερα είναι άραγε φρόνιμο να τους δίνονται προς χρήση σύμβολα για την σημασία των οποίων αγνοούν τα πάντα;
Το μηδέν (0) μας παρουσιάζεται σαν ένας αριθμός και ένα σύμβολο που μαθαίνει κάθε 6χρονο παιδί σαν τροπάρι. Αλλά σ’ αυτά τα μαθήματα, ακόμα περισσότερο απ’ τους άλλους αριθμούς (το 1, το 2, το 3...) η εκμάθηση του μηδενός είναι ένας βιασμός της σκέψης, που κανένα 6χρονο παιδί (και πρακτικά κανένα μεγαλύτερο στο εκπαιδευτικό σύστημα) δεν μπορεί να ελέγξει, να συνειδητοποιήσει, να αντιμετωπίσει. Η εκπαίδευση στο μηδέν είναι ένα κυνικό επεισόδιο καθαρής προπαγάνδας: το μηδέν ΔΕΝ υπάρχει, σίγουρα όχι με την φυσικότητα του “πάνω στο τραπέζι είναι δύο πορτοκάλια· τα παίρνω· πόσα πορτοκάλια είναι πάνω στο τραπέζι; - μηδέν!!!” Όχι! Το “μηδέν πορτοκάλια υπάρχουν στο τραπέζι” είναι καθαρή ανοησία. Στο τραπέζι δεν υπάρχουν πορτοκάλια, όπως δεν υπάρχουν εργοστάσια, καλικάτζαροι, η δασκάλα, ή το τελευταίο μοντέλο των βαλιστικών πυραύλων των ηπα. Η ιδέα ότι πάνω στο άδειο τραπέζι “υπάρχουν” μηδέν πορτοκάλια, μηδέν εργοστάσια, μηδέν καλικάτσαροι, μηδέν δασκάλες, μηδέν πύραυλοι, και όλα τα μηδέν του κόσμου, σημαίνει ότι το τραπέζι είναι η αιώνια συνάντηση των μηδενικών. Και όχι μόνο το τραπέζι. Ο 6χρονος μαθητής / η 6χρονη μαθήτρια, σαν σώματα, είναι επίσης μια αιώνια συνάντηση μηδενικών: μηδέν ρυτίδες, μηδέν τριχόπτωση, μηδέν ρουλεμάν, μηδέν χερούλια κατσαρόλας, μηδέν κέρατα βουβάλου, μηδέν υδρορροές...
Το μηδέν δεν είναι ένας ακόμα αριθμός· ακόμα κι αν, όπως το είπε το διάσημο turboflo, με πολλά μηδενικά γίνεται κανείς νούμερο. Το μηδέν είναι κυρίως μια ιδιαίτερη φιλοσοφία και, στην εξέλιξη των πραγμάτων (των μαθηματικών) μια παράξενη εφεύρεση που απαιτεί μεγάλη προσοχή στη χρήση της. Αντιγράφουμε [1Αυτό το απόσπασμα όπως και το επόμενο, στο τέλος του κειμένου, είναι από το βιβλίο Μηδέν, η ιστορία μιας επικίνδυνης ιδέας, του Charles Seife, εκδ. Λιβάνη, 2009.]:
...
Ένα μοναχικό μηδέν πάντα συμπεριφέρεται ανάρμοστα. Ή, τουλάχιστον, δε συμπεριφέρεται με τον ίδιο τρόπο που συμπεριφέρονται οι άλλοι αριθμοί.
Αν προσθέσουμε έναν αριθμό στον εαυτό του, αλλάζει. Ένα και ένα δεν κάνει ένα - κάνει δυο. Δύο και δύο κάνουν τέσσερα. Αλλά μηδέν και μηδέν είναι μηδέν. Αυτό παραβιάζει μια βασική αρχή των αριθμών που ονομάζεται αξίωμα του Αρχιμήδη, το οποίο λέει ότι αν προσθέσουμε κάτι στον εαυτό του αρκετές φορές, θα υπερβεί σε ποσότητα κάθε άλλο αριθμό... Το μηδέν, ωστόσο, αρνείται να γίνει μεγαλύτερο. Επίσης, αρνείται να κάνει οποιονδήποτε άλλο αριθμό μεγαλύτερο.
Προθέτοντας δύο και μηδέν, παίρνουμε δύο· είναι σαν να μην κάναμε καθόλου την πρόσθεση. Το ίδιο συμβαίνει και με την αφαίρεση. Αφαιρώντας το μηδέν από το δύο, παίρνουμε δύο. Το μηδέν δεν έχει υπόσταση. Εντούτοις, αυτός ο ανυπόστατος αριθμός απειλεί να υπονομεύσει τις απλούστες πράξεις στα μαθηματικά, όπως ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.
Στο βασίλειο των αριθμών, ο πολλαπλασιασμός είναι μια επιμήμυνση - κυριολεκτικά. Ας φανταστούμε ότι ο άξονας των αριθμών (1, 2, 3...) είναι ένας ελαστικός επίδεσμος με ενδείξεις πάνω του. Ο πολαπλασιασμός με το 2 μπορεί να θεωρηθεί ως η επιμήκυνση του ελαστικού επιδέσμου κατά το διπλάσιο... Ομοίως, ο πολαπλασιασμός με το 1/2 είναι σα να να χαλαρώνουμε λίγο τον επίδεσμο... Αλλά τι συμβαίνει όταν πολλαπλασιάζουμε με το μηδέν;
Οτιδήποτε επί μηδέν είναι μηδέν· έτσι, όλα τα σημάδια είναι στο μηδέν. Ο ελαστικός επίδεσμος έχει σπάσει. Ολόκληρος ο άξονας των αριθμών έχει καταρρεύσει. Δυστυχώς, δεν υπάρχει τρόπος να αποφευχθεί αυτό το δυσάρεστο γεγονός. Οτιδήποτε επί μηδέν πρέπει να είναι μηδέν...
Αλλά όσο ενοχλητική κι αν είναι αυτή η ιδιότητα, η πραγματική δύναμη του μηδενός γίνεται φανερή με τη διαίρεση, όχι με τον πολλαπλασιασμό... Η διαίρεση με το μηδέν θα έπρεπε να είναι το αντίθετο του πολλαπλασιασμού με το μηδέν. Θα έπρεπε να ανατρέπει την καταστροφή του άξονα των αριθμών. Δυστυχώς, δε συμβαίνει αυτό ακριβώς.
Είδαμε ότι 2χ0=0. Συνεπώς, για να αναστρέψουμε τον πολλαπλασιασμό, πρέπει να υποθέσουμε ότι (2χ0)/0 θα μας επαναφέρει στο 2. Ομοίως, το (3χ0)/0 θα έπρεπε να μας επαναφέρει στο 3, και το (4χ0)/4 θα έπρεπε να είναι ίσο με 4. Αλλά το 2χ0 και το 3χ0 και το 4χ0 είναι καθένα ίσο με το μηδέν. Έτσι το (2χ0)/0 ισούται με 0/0, όπως επίσης το (3χ0)/0 και το (4χ0)/0. Αλλοίμονο, όμως, αυτό σημαίνει ότι το 0/0 είναι ίσο με 2, αλλά επίσης είναι ίσο με 3 και με 4. Κάτι τέτοιο, απλώς, δεν έχει νόημα.
Περίεργα πράγματα συμβαίνουν, επίσης, όταν εξετάσουμε το 1/0 με διαφορετικό τρόπο.Ο πολλαπλασιασμός με το μηδέν θα έπρεπε να αντιστρέφει τη διαίρεση με το μηδέν, έτσι το 1/0 Χ 0 θα έπρεπε να ισούται με 1. Όμως κάθε πολλαπλασιασμός με το μηδέν ισούται με μηδέν! Δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός ο οποίος, όταν πολλαπλασιάζεται με το μηδέν, να μας δίνει 1... Τουλάχιστον κανένας απ’ τους αριθμούς που ξέρουμε.
Το χειρότερο απ’ όλα είναι ότι, αν διαιρέσουμε ασυλλόγιστα με το μηδέν, μπορεί να καταστρέψουμε τα θεμέλια της λογικής και των μαθηματικών. Η διαίρεση με το μηδέν μία φορά - μόνο μια φορά - μας επιτρέπει να αποδείξουμε, μαθηματικά, οτιδήποτε μας κατέβει. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι 1 + 1 = 42...
Ο πολλαπλασιασμός με το μηδέν προκαλεί την κατάρρευση του άξονα των αριθμών. Αλλά η διαίρεση με το μηδέν καταστρέφει ολόκληρο το πλαίσιο των μαθηματικών.
...
Κανονικά θα πρέπει να νοιώθετε έναν κόμπο στο λαιμό. Ακόμα κι αν έχετε προχωρημένες σπουδές μαθηματικών το πιθανότερο είναι πως δεν έχετε προσέξει πόσα πράγματα μπορεί να γκρεμίσει η χρήση του μηδενός σαν ενός αριθμού όπως οι άλλοι. Θυμηθείτε όμως: κάποτε πολύ παλιά, μαθαίνατε αριθμητική μετρώντας / παίζοντας με τα δάκτυλα των χεριών, κι εκεί, σαν το πιο φυσικό πράγμα του κόσμου, τα 5 δάκτυλα γίνονταν 4 αν κλείνατε ένα, ύστερα, 3, ύστερα 2, ύστερα 1, και ύστερα... Ύστερα μηδέν. Τόσο “απλά”, τόσο “φυσιολογικά”.... Τόσο απλά και τόσο φυσιολογικά ώστε εάν στην β ή στην γ δημοτικού δείχνατε κάποια ιδιαίτερη έφεση στην αριθμητική και ανακαλύπτατε τα πιο πάνω, επιμένοντας ότι 1 + 1 = 154, θα είχατε εξασφαλίσει μια θέση σε παιδο-ψυχίατρο.
Το μηδέν σα σύμβολο, σαν έννοια, σαν αριθμός έχει μια πολύπλοκη ιστορία, που ξεκινάει από πολύ παλιά και από πολυ ανατολικά (σε σχέση με τις ευρωπαϊκές συντεταγμένες): απ’ τους βαβυλώνιους, του ινδούς, τους άραβες φιλοσόφους / μαθηματικούς. Αλλά καθώς επί πολλούς αιώνες ήταν φορτωμένο με ιδιαίτερες φιλοσοφικές / ιδεολογικές σημασίες η χρήση του συναντούσε σοβαρά εμπόδια. Όχι μόνο ένα σύμβολο για το τίποτα αλλά και η ίδια η έννοια του τίποτα - σαν - που - υπάρχει δεν είναι καθόλου εύκολη. Δεν μπορεί κανείς να την πει “φυσιολογική”. Πολλά συστήματα μέτρησης υπήρχαν σε διάφορους πολιτισμούς, και μάλιστα καθόλου “υπανάπτυκτους”· περιθώριο για το μηδέν σα σύμβολο του τίποτα δεν υπήρχε. Δείτε, για παράδειγμα, τους λατινικούς αριθμούς που υπήρχαν σε μεγάλη χρήση την καθόλου υπανάπτυκτη ρωμαϊκή αυτοκρατορία: μηδέν δεν υπάρχει. Πέρα και πίσω απ’ τα συστήματα μέτρησης και αρίθμησης, υπήρχε ωστόσο μια ορισμένη αντίληψη για τον κόσμο. Το να “υπάρχει” το τίποτα, το ανύπαρκτο, είναι από πολλές απόψεις στραμπούλιγμα της σκέψης. Εκτός εάν το “τίποτα”, το “ανύπαρκτο”, το “κενό” επενδυθεί με ειδικό περιεχόμενο, με ιδιαίτερο νόημα. Στο τέλος μιας τέτοιας φιλοσοφίας, ένα σύμβολο για το “τίποτα” μπορεί να βρει μια κάπως στέρεη θέση.
Κι ενώ μπορεί κάποιος / κάποια ενήλικος / ενήλικη να αφιερώσει τον χρόνο του / της στη φιλοσοφική μελέτη των αριθμών, των συστημάτων αρίθμησης, των μαθηματικών και της εξέλιξής τους, και - μέσα σ’ αυτά - στις έννοιες και στα σύμβολα του μηδενός και του άπειρου (αυτό είναι το “ταίρι”...) τι δουλειά έχουν όλα αυτά στην εκπαίδευση ανηλίκων; Και τι ηθική (αν μας επιτρέπεται η έκφραση) κουβαλάει το παράδειγμα των δύο πορτοκαλιών στο τραπέζι, ύστερα των δύο πορτοκαλιών μακριά απ’ το τραπέζι, και τελικά της δήθεν “λογικής / εμπειρικής” πραγματικότητας (απόδειξης;) του μηδενός;
Είναι εξαιρετικά πιθανό πως εκείνοι που συνέλαβαν την ιδέα ότι “για το καλό της μόρφωσης” των ανηλίκων είναι απαραίτητο να γεμίζουν τα μυαλά τους με αυθαίρετες (γι’ αυτά τα μυαλά) συμβάσεις και, ύστερα, με αυστηρές οδηγίες για το πως θα τις χρησιμοποιούν ώστε να αποφεύγουν τις ορθάνοικτες καταβόθρες (να αποφεύγουν, σα να λέμε, πειρασμούς του είδους 1/0 = 0, 167/0 = 0, άρα 1 = 167...) αυτοί λοιπόν δεν καταλάβαιναν γρι για το που μπορούν να οδηγήσουν την σκέψη όχι μόνο οι εκπαιδευτικώ δικαίω αυθαίρετες συμβάσεις σαν τέτοιες αλλά, επιπλέον, η τυφλή πειθαρχία και εμπιστοσύνη σ’ αυτές. Ή μπορεί να καταλάβαιναν σε ότι αφορούσε τις συμβάσεις της ιστορίας, των θρησκευτικών ή της γεωγραφίας· όχι, όμως, των αριθμών!
Αλλά άμα καταπιείς αμάσητη την “φυσικότητα” του 0 (και τι άλλο μπορεί να κάνει ένα μικρό παιδί) θα έρθει γρήγορα μια στιγμή που θα καταπιείς αμάσητες κι άλλες τέτοιες “φυσικότητες”. Αίφνης, για παράδειγμα, το 0 τοποθετείται στη μέση μιας ευθείας γραμμής, στο δεξιό κομμάτι της οποίας απλώνονται σε σταθερές αποστάσεις να γνωστά σου νούμερα. Το 1, ύστερα το 2, ύστερα το 3. Γιατί στο δεξιό; Έτσι. Εκεί είναι η “φυσική θέση των θετικών αριθμών”.... Γιατί στο αριστερό κομμάτι της ευθείας, αριστερότερα του 0, φυτρώνουν ασυνήθιστα όντα. Το -1, το -2, το -3, το αριθμητικό underground του μηδενός που είναι πια αυτονόητο. Το ασυνήθιστο είναι εμπειρικά της ίδιας τάξης με τα “μηδέν πορτοκάλια”: αν υπάρχουν δύο από δαύτα πάνω στο τραπέζι και κάποιος “δανειστεί” τρία, τότε του χρωστάς ένα. Αυτό είναι -1 πορτοκάλι...
Και, ύστερα, ακολουθεί η οργιώδης συνεύρεση “θετικών” και “αρνητικών” αριθμών που γεννάει απεριόριστα μιγαδικούς αριθμούς, χωρίς να κάνει ούτε έναν μαθητή εχθρό της καθαρότητας και φίλο του μπασταρδέματος. Κανείς (μαθητευόμενος) δεν υποψιάζεται καν (κανείς δεν επιτρέπεται να υποψιαστεί) ότι πίσω απ’ όλες αυτές τις αριθμητικές “φυσικότητες” (πρώτα το μηδέν, ύστερα τους αρνητικούς αριθμούς, και μετά τους μιγαδικούς...) θα πρέπει να υπάρχουν προϋποθέσεις, διανοητικές συλλήψεις, υποθέσεις, θεωρήματα, ιδεολογίες, πολύ σοβαρότερες απ’ αυτά καθ’ εαυτά τα νούμερα. Και με προεκτάσεις προς διάφορες μεριές. Και κανείς δεν λέει - δεν επιτρέπεται να πει - stop! εδώ μας κοροϊδευετε!!!
Υπάρχουν πολλοί / πολλές που εύκολα θα υποστήριζαν ότι η προπαγάνδα στο εκπαιδευτικό σύστημα γίνεται στα μαθήματα της ιστορίας, των θρησκευτικών ή στα μαθήματα γλώσσας. Λάθος! Γίνεται κι εκεί, ασφαλώς, και είναι μερικές φορές εύκολα αντιληπτή. Όμως η πιο σκλήρη και αποτελεσματική προπαγάνδα, με την έννοια της πλύσης εγκεφάλου, δηλαδή της απόλυτης, τυφλής προσαρμογής της σκέψης (: πίστης) σε “αλήθειες” που είναι απλά συμβάσεις με κρυμμένο το υπέδαφός τους, γίνεται στην εκπαίδευση στις θετικές επιστήμες. Αρχίζει απ’ την αριθμητική, και συνεχίζεται στη φυσική και στη χημεία.
Το ζήτημα δεν είναι εάν αυτά που διδάσκονται σ’ αυτούς τους γνωσιακούς τομείς είναι “αλήθειες” ή “ψέμματα”. Όπως ακριβώς συμβαίνει και με την ιστορία ή τα θρησκευτικά, είναι αλήθειες - υπό - όρους· κι αν αυτοί οι όροι αλλάξουν είναι ψέμματα - υπό - άλλους - όρους. Όμως αφού οι κάθε φορά “όροι”, οι κάθε φορά “νοητικές προΰποθέσεις” δεν εκτίθενται πριν ή έστω παράλληλα με τις “αλήθειες” που πατούν εκεί (και θα πει κάποιος: πως να εισάγεις τα 6χρονα, τα 7χρονα ή τα 8χρονα στην ινδουϊστική φιλοσοφία;) έχουμε κάθε δικαίωμα να μιλάμε για σκληρή προπαγάνδα.
Κι αν δεν είναι δυνατόν να καταλάβουν οι νεαροί / οι νεαρές των σχολείων από ινδουϊστική φιλοσοφία, τότε καλύτερα θα ήταν να περιμένουν οι αριθμοί (και η “αγωνία” για την αριθμητική / μαθηματική μόρφωσή τους) ως την ηλικία που θα καταλαβαίνουν και τις προϋποθέσεις και τα αποτελέσματα! Σκάνδαλο;;; Ασφαλώς!! Για ποιο λόγο; Επειδή η εκπαίδευση στα μηδενικά είναι πια τόσο κρίσιμη... για τους σωστούς καταναλωτές... Ή, αν θέλετε, για τους πρωτογενώς ηλίθιους.
Διαφορετικά, θα πρέπει κανείς να διδάσκει ή/και να διδάσκεται πράγματα που αν μη τι άλλο προτρέπουν σε μεγάλο σεβασμό προς άλλους, διαφορετικούς πολιτισμούς - σίγουρα στα μέρη μας - πριν μάθει να μετράει μηδέν ή αρνητικά πορτοκάλια:
... Το κενό είχε μια σημαντική θέση στην ινδουιστική θεολογία. Ο ινδουϊσμός είχε ξεκινήσει ως πολυθεϊστική θρησκεία, ένα σύνολο μύθων για πολεμιστές θεούς και μάχες παραπλήσιες ποικιλοτρόπως με τους ελληνικούς μύθους. Ωστόσο, με το πέρασμα των αιώνων, οι θεοί άρχισαν να συγχωνεύονται μεταξύ τους. Ενώ ο ινδουϊσμός διατήρησε τα λαοφιλή τελετουργικά και τη λατρεία στο πάνθεόν του, στον πυρήνα του έγινε μονοθεϊστικός και ενδοσκοπικός. Όλοι οι θεοί αποτέλεσαν όψεις ενός θεού που περιέκλειε τα πάντα: του Βράχμα.
Περίπου την ιδια εποχή που οι Έλληνες γνώριζαν άνοδο στο δυτικό κόσμο, ο ινδουισμός διαφοροποιούντα σταδιακά από τους δυτικούς μύθους· οι ξεχωριστοί θεοί γίνονταν λιγότερο διακριτοί και η θρησκεία όλο και πιο μυστικιστική. Ο μυστικισμός ήταν καταφανώς ανατολικός.
Όμοια με πολλές ανατολικές θρησκείες, ο ινδουισμός ήταν διαποτισμένος από τον συμβολισμό της δυϊκότητας... Όπως με το γιν και το γιανγκ της Άπω Ανατολής και με το δυϊσμό καλού και κακού του ζωροαστρισμού της Εγγύς Ανατολής, η δημιουργία και η καταστροφή αναμειγνύονταν στον ινδουισμό. Ο θεός Σίβα ήταν ταυτόχρονα δημιουργός και καταστροφέας του κόσμου...
Παρ’ όλα αυτά, ο Σίβα αντιπροσώπευε και την ανυπαρξία. Μια όψη της θεότητας, ο Νισκάλα Σίβα, ήταν κυριολεκτικά ο Σίβα “χωρίς μέρη”. Ήταν το απόλυτο κενό, το υπέρτατο τίποτα - η ενσάρκωση της ανυπαρξίας ζωής. Αλλά από το κενό είχε γεννηθεί το Σύμπαν, το ίδιο και το άπειρο. Αντίθετα με το δυτικό Σύμπαν, ο κόσμος των Χιντού ήταν άπειρος σε έκταση· πέρα από το δικό μας Σύμπαν υπήρχαν αμέτρητα άλλα.
...
Έτσι η Ινδία, ως μια κοινωνία η οποία ενεργά εξερεύνησε το κενό και το άπειρο, αποδέχθηκε το μηδέν. Οι Ινδοί μαθηματικοί έκαναν περισσότερα από το να αποδεχθούν απλώς το μηδέν. Το μετασχημάτισαν, αλλάζοντας το ρόλο του από απλό θεσιακό σύμβολο σε αριθμό. Αυτή η μετεμψύχωση είναι που έδωσε στο μηδέν τη δύναμή του....
ΣΗΜΕΙΩΣΗ
1 - Αυτό το απόσπασμα όπως και το επόμενο, στο τέλος του κειμένου, είναι από το βιβλίο Μηδέν, η ιστορία μιας επικίνδυνης ιδέας, του Charles Seife, εκδ. Λιβάνη, 2009.
[ επιστροφή ]
